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  <title>study-《物理·动量》提纲 - Isshiki&#39;sBlog</title>

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    <time datetime="2020-08-30 11:19" pubdate>
      2020年8月30日 上午
    </time>
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            <h1 style="display: none">study-《物理·动量》提纲</h1>
            
              <p class="note note-info">
                
                  本文最后更新于：1 年前
                
              </p>
            
            <div class="markdown-body" id="post-body">
              <p><img src="https://s2.ax1x.com/2019/11/02/Kb7eII.png" srcset="/blog/img/loading.gif" alt=""></p>
<h3 id="前言"><a href="#前言" class="headerlink" title="前言"></a>前言</h3><p>本文针对 ZJ<strong>选</strong>考-物理</p>
<p>本文使用<strong>LaTeX</strong>，遇到公式错误请<code>F5</code>刷新</p>
<p>对应教材为<strong>人民教育出版社</strong>の<strong>《物理·3-5》</strong>(选修)</p>
<p><del>高三狗的苦逼整(挣)理(扎)</del></p>
<a id="more"></a>
<h3 id="力学动量"><a href="#力学动量" class="headerlink" title="力学动量"></a>力学动量</h3><ul>
<li><p>动量($p$)</p>
<ul>
<li>定义：物体速度($v$)和质量($m$)的乘积</li>
<li>定义式：$p=mv$</li>
<li>单位：$kg·m/s$</li>
<li>注：是一种<strong>状态量</strong> &amp; <strong>矢量</strong></li>
</ul>
</li>
<li><p>冲量($I$)</p>
<ul>
<li>定义：力($F$)和力作用的时间($t$)的乘积</li>
<li>定义式：$I=Ft$</li>
<li>单位：$kg·m/s$</li>
<li>注：是一种<strong>过程量</strong> &amp; <strong>矢量</strong></li>
</ul>
</li>
<li><p>动量和冲量的关系：可以理解为冲量是动量的改变量(类比功和能的关系)</p>
</li>
<li><p><strong>动量定理</strong>：</p>
<ul>
<li>公式表达：$\Delta p =p_0’-p_0= I=F·(t_0’-t_0)$</li>
<li>文字表述：物体在<strong>一段时间内</strong>的<strong>动量变化量</strong>等于<strong>所受合力的冲量</strong></li>
<li>遵循矢量运算法则</li>
<li>普遍适用(高速/低速/宏观/微观)</li>
</ul>
</li>
<li><p>系统：</p>
<ul>
<li>由相互作用的一些物体组成，这些物体间的相互作用为<strong>内力</strong>，涉及系统外物体的力为<strong>外力</strong></li>
</ul>
</li>
<li><p><strong>动量守恒定理</strong>：</p>
<ul>
<li>适用条件：系统受力平衡或者不受力<ul>
<li>注：如果系统在某一个方向上受力平衡或不受力，那在这个方向上同样动量守恒</li>
</ul>
</li>
<li>公式表述：$\sum_i{p_i}=\sum_i{p_i’}$<ul>
<li>特别的：$m_1v_1+m_2v_2=m_1v_1’+m_2v_2’$</li>
</ul>
</li>
<li>文字表述：系统受力平衡或不受力的情况下总动量保持不变</li>
<li>注：如果系统受到的合力不为零，如果内力远远大于外力，同样可以适用动量守恒，即外力可以忽略。</li>
</ul>
</li>
<li><p>碰撞：</p>
<ul>
<li>动量问题中的一个典型模型</li>
<li>定义：两个物体相互<strong>作用时间很短</strong>且<strong>作用力较大</strong></li>
<li>因此在碰撞过程中，内力一般远大于外力，基本适用动量守恒</li>
<li>分类：<ul>
<li>弹性碰撞：系统<strong>动量守恒</strong>且<strong>机械能守恒</strong></li>
<li>非弹性碰撞：系统<strong>动量守恒</strong>，机械能不守恒(有损耗)</li>
<li>完全非弹性碰撞：系统<strong>动量守恒</strong>，最后以<strong>相同的速度</strong>一起运动(一般指碰撞后相粘连)</li>
<li>对心碰撞：碰撞后速度共线</li>
<li>非对心碰撞： 碰撞后速度不共线</li>
</ul>
</li>
<li><strong>碰撞过程中必定满足</strong>(用于做判断碰撞后速度的选择题)：<ul>
<li>动量守恒</li>
<li>机械能不增加</li>
<li>以两个物体的碰撞为例，两个物体的速度方向不可能<strong>都</strong>改变</li>
<li>速度大小合理<ul>
<li>部分的来说，对于其中一个物体，如果它受到的作用力有加速的作用，那最后这个物体的速度必定增大</li>
<li>整体的来说，从“背后”被击中的物体速度必定增加</li>
<li>本质：对系统的一部分进行功能分析</li>
</ul>
</li>
</ul>
</li>
<li>弹性碰撞的扩展(两者势能都不变)</li>
</ul>
</li>
</ul>
<p>由于机械能守恒：</p>
<script type="math/tex; mode=display">
①\frac{1}{2}m_1v_1^2+\frac{1}{2}m_2v_2^2=\frac{1}{2}m_1{v_1'}^2+\frac{1}{2}m_2{v_2'}^2</script><p>由于能量守恒：</p>
<script type="math/tex; mode=display">
②m_1v_1+m_2v_2=m_1v_1'+m_2v_2'</script><p>变形后有：</p>
<script type="math/tex; mode=display">
③\frac{1}{2}m_1v_1^2-\frac{1}{2}m_1{v_1'}^2=\frac{1}{2}m_2{v_2'}^2-\frac{1}{2}m_2v_2^2</script><script type="math/tex; mode=display">
④m_1v_1-m_1v_1'=m_2v_2'-m_2v_2</script><p>(注：该式可得到特殊性质，见本小节末尾“一句话来说……”)<br>由③/➃得到⑤</p>
<script type="math/tex; mode=display">
⑤v_1'=v_2+v_2'-v_1</script><p>又由④变换得到⑥</p>
<script type="math/tex; mode=display">
⑥v_2'=\frac{m_1v_1-m_1v_1'+m_2v_2}{m_2}</script><p>将⑥代入⑤得到⑦</p>
<script type="math/tex; mode=display">
⑦v_1'=\frac{v_1(m_1-m_2)+2m_2v_2}{m_1+m_2}</script><p>$v_2’$的计算同理</p>
<ul>
<li><ul>
<li>特别的，如果$v_2=0$，即物体$m_2$为静止，则得到：</li>
<li>$v_1’=\frac{v_1(m_1-m_2)}{m_1+m_2}$，$v_2’=\frac{2m_1v_1}{m_1+m_2}$<ul>
<li>更特别的，如果有$m_1=m_2$，则两物体交换速度(类似台球)</li>
<li>同样特别的，如果有$m_1$远大于$m_2$，则$v_1’=v_1$，$v_2’=2*v_1$</li>
<li>同样特别的，如果有$m_1$远小于$m_2$，则$v_1’=-v_1$，$v_2’=0$</li>
</ul>
</li>
<li>一句话来说，<strong>弹性碰撞</strong>问题中：<ul>
<li>碰撞前两物体<strong>相互靠近</strong>的<strong>相对速度大小</strong>等于碰撞后量物体<strong>相互分离</strong>的<strong>相对速度大小</strong>(依据是④)</li>
</ul>
</li>
</ul>
</li>
<li>爆炸模型<ul>
<li>这里的爆炸模型特指两个静止物体在很短的时间内相互作用反向运动的模型。如在爆炸中化学能转化为动能。</li>
<li>由于爆炸的作用力很大而且作用时间短，满足动量守恒的条件，有$v_1m_1+m_2v_2=0$(静止)</li>
<li>变化后得到$-\frac{v_1}{v_2}=\frac{m_2}{m_1}$</li>
</ul>
</li>
<li>反冲模型<ul>
<li>通过将物体中一部分质量反向掷出来增大自身速度的模型，如火箭。</li>
<li>在保证作用时间短，作用力大的情况下有$v_1(M+m)=v_1’M+v_2m$<ul>
<li>我们掷出$m$前的物体$(M+m)$为参考，即令$v_1=0$</li>
<li>有$\Delta vM+v_mm=0$，变形得$\Delta v=-\frac{m}{M}v_m$，根据该公式改进火箭燃料结构</li>
</ul>
</li>
</ul>
</li>
</ul>
<h3 id="电磁动量"><a href="#电磁动量" class="headerlink" title="电磁动量"></a>电磁动量</h3><ul>
<li>电磁动量和力学动量在碰撞之前的部分都是共通的，区别在于电磁动量问题中，物体的直接碰撞变成了借由电磁效应间接碰撞<ul>
<li>从力学角度来描述，系统的内力形式从弹力变成了安培力</li>
<li>由于在力学动量问题中，一对内力是相互作用力，等大反向；而在电磁动量问题中，内力为两个安培力，然而这两个安培力中</li>
</ul>
</li>
<li>基础模型：(我就不画图了，做了这么多题肯定能想象出来的)<ul>
<li>在竖直匀强磁场$B$中，有垂直于磁场方向的水平光滑金属平行导轨，两侧导轨间距为$L$，现导轨上有两个有效电阻为$r$且垂直导轨的金属棒，质量均为$m$，其中$a$棒静止，$b$棒瞬间开始以$v$为速度向另外一个运动</li>
<li>不难发现，两根棒子形成了闭合回路，$b$开始切割磁感线，回路中产生电流。因此$a$棒受到安培力后开始运动，安培力方向和$v$相同(推理过程略，左右手摆一摆)，而$a$棒又受到和$v$方向相反的安培力。总体来看，$a$做远离$b$的加速运动，$b$做靠近$a$的减速运动，且分别受到的合力等大反向。</li>
<li>又有$a=\frac{F}{m}$且该模型中$m$相等，所以两棒的加速度大小是相同的。</li>
<li>经过简单的推理，不难发现这个加速度在逐渐变小，最终变为0，此时两棒以相同的速度$\frac{v}{2}$运动</li>
<li>我们分别对安培力对两棒的冲量做计算，$I =\sum a_im*\Delta t，t\to0^+$，由于$a$的大小总是相等，方向相反的，所以最终$I_a=-I_b$，存在动量守恒。</li>
</ul>
</li>
<li>变化模型①：<ul>
<li>在基础模型的基础上，两棒的质量分别为$m_a$，$m_b$</li>
<li>在基础模型的分析中，唯一一次用到$m$就是在把安培力转化为加速度的时候，然而继续对冲量做分析，在$I =\sum a_im*\Delta t，t\to0^+$中，$a_im$的大小，也就是安培力的大小仍然不变，所以已然适用动量守恒。</li>
</ul>
</li>
<li>变化模型②：<ul>
<li>根据分析，我们得到变化模型①和基础模型其实是等价的。现在我们开始真正有意思的变化。</li>
<li>在变化模型①的基础上，我们让$a$棒永远在竖直向上，大小为$B$的磁场上运动，而$b$棒在竖直向下，大小为$B$的磁场上运动，并且保证磁场区域足够长。</li>
<li>我们从头开始分析，$b$棒开始切割以后，回路中产生电流，两棒的电流方向相反，但是由于两棒的磁场方向也相反，所以安培力的方向是相同的。但是作用效果不变，$a$棒仍然加速，$b$棒仍然减速，但是现在$a$棒和$b$棒却相向而行，余下经过类似于模型①的推理我们得到，$I_a=I_b$，显然现在已经不满足动量守恒了，虽然不能用动量守恒，但我们可以用动量定理，分析得到$vm_b=v’(m_b+m_a)$(为使磁通量不变，两棒最终必须以相同的速度相向而行)。而最终两棒将以相同的速度$\frac{m_b}{m_a+m_b}v$相向而行。</li>
</ul>
</li>
<li><p><strong>变化模型③</strong></p>
<ul>
<li>在变化模型①的基础上，我们令$a$和$b$分别处在足够长的磁场$B_a$和$B_b$中，$B_a$和$B_b$的大小和方向都可能不相同。</li>
<li>这类模型似乎在题目里出现的很少，但是为了深刻理解这个问题我觉得还是有必要拿出来讲一下的。</li>
<li>在整个体系中，$a$和$b$现在可以统一的物理量只有电流了。我们先直接分析末状态，为了让磁通量恒定，最终的稳定状态下应该有$v_at·L·B_a=v_bt·L·B_b$，化简得到$\frac{v_a}{v_b}=\frac{B_b}{B_a}$，如果$B_a$和$B_b$同号，那么两棒同向运动，反之相向运动。</li>
<li>再来分析变化过程。$F_a=IB_aL$，$F_b=IB_bL$；$a_a=\frac{IB_aL}{m_a}$，$a_b=\frac{IB_bL}{m_b}$；$I_a=\sum IB_aL·\Delta t$，$I_b=\sum IB_bL·\Delta t$。</li>
<li>很显然，在$B$不同了以后原本成立的动量守恒现在已经不成立了。或者说“不能直接成立”了。明明看起来好像系统受力平衡，却不适用。</li>
<li>按我<strong>个人的理解</strong>来讲，其实动量守恒还是成立的，但是冲量的量度被磁场篡改了。感觉就像在不同介质中传播的电磁波，频率不变但是波长和速度都边了，甚至传播方向都在折射的时候被改变了。类比过来的话，光的频率就相当于电流，而其他量作为推导量，由于关联系数的变化，在大小上变的不一样了，而这个系数就是磁场强度$B$和折射率$n$。当在各个推导物理量中把这些系数剃除以后，一切又都能统一回来。</li>
<li>当然，这个方法只是我写到这里的时候的瞬间猜想，请等我实战以后再来更新。</li>
</ul>
</li>
<li><p>另外的公式</p>
<ul>
<li>电磁动量中除了自由导体的相互作用，还有直接涉及到电磁能和机械能之间转换的各种问题，基本上用这些公式就能解决。<script type="math/tex; mode=display">①\Delta p=qBL</script><script type="math/tex; mode=display">②\Delta\phi=B\Delta S</script><script type="math/tex; mode=display">③q=I\Delta t=\frac{E}{R}\Delta t</script><script type="math/tex; mode=display">④E=\frac{\Delta \phi}{\Delta t}</script><script type="math/tex; mode=display">⑤_{④代入③}q=\frac{\Delta \phi}{R}</script><script type="math/tex; mode=display">⑥_{⑤代入①}\Delta p=\frac{\Delta \phi}{R}BL</script><script type="math/tex; mode=display">⑦_{①代入⑥}\Delta p=\frac{\Delta SB^2L}{R}=\frac{\Delta xB^2L^2}{R}</script></li>
</ul>
</li>
</ul>
<h3 id="光学动量"><a href="#光学动量" class="headerlink" title="光学动量"></a>光学动量</h3><p>$\varepsilon = h\mu = mc^2\Rightarrow p=mc=\frac{h\mu}{c}=\frac{h}{\lambda}$</p>
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                      <a class="hover-with-bg" href="/blog/tags/%E5%AD%A6%E4%B9%A0/">学习</a>
                    
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              </div>
              
                <p class="note note-warning">未经允许禁止用于商业用途，转载请标注出处和作者！</p>
              
              
                <div class="post-prevnext row">
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                      <a href="/blog/2020/08/30/stuChemistryKn/">
                        <i class="iconfont icon-arrowleft"></i>
                        <span class="hidden-mobile">study-万恶的化学常识</span>
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                      </a>
                    
                  </article>
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                      <a href="/blog/2020/08/24/repKCJHBCJ/">
                        <span class="hidden-mobile">report-P3402 可持久化并查集</span>
                        <span class="visible-mobile">下一篇</span>
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                      </a>
                    
                  </article>
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              <!-- Comments -->
              <article class="comments" id="comments">
                
                <!-- 来必力City版安装代码 -->
<div id="lv-container" data-id="city" data-uid="MTAyMC80ODI4NS8yNDc3OQ==">
  <script type="text/javascript">
     (function(d, s) {
         var j, e = d.getElementsByTagName(s)[0];
  
         if (typeof LivereTower === 'function') { return; }
  
         j = d.createElement(s);
         j.src = 'https://cdn-city.livere.com/js/embed.dist.js';
         j.async = true;
  
         e.parentNode.insertBefore(j, e);
     })(document, 'script');
  </script>
  <noscript>为正常使用来必力评论功能请激活JavaScript</noscript>
  </div>
  <!-- City版安装代码已完成 -->
              </article>
            
          </article>
        </div>
      </div>
    </div>
    
      <div class="d-none d-lg-block col-lg-2 toc-container" id="toc-ctn">
        <div id="toc">
  <p class="toc-header"><i class="iconfont icon-list"></i>&nbsp;目录</p>
  <div id="tocbot"></div>
</div>

      </div>
    
  </div>
</div>

<!-- Custom -->

  <div class="col-lg-7 mx-auto nopadding-md">
    <div class="container custom post-content mx-auto">
      <p><center><b>(っ*´Д`)っ㊖ <font color="darkblue">  疯 狂 暗 示  </font>(っ*´Д`)っ㊖</b></center></p><center><img src="https://pic.downk.cc/item/5f3bd3b414195aa59408fb13.png" srcset="/blog/img/loading.gif" width="50%" height="50%"/></center>
    </div>
  </div>


    
  </main>

  
    <a id="scroll-top-button" href="#" role="button">
      <i class="iconfont icon-arrowup" aria-hidden="true"></i>
    </a>
  

  
    <div class="modal fade" id="modalSearch" tabindex="-1" role="dialog" aria-labelledby="ModalLabel"
     aria-hidden="true">
  <div class="modal-dialog modal-dialog-scrollable modal-lg" role="document">
    <div class="modal-content">
      <div class="modal-header text-center">
        <h4 class="modal-title w-100 font-weight-bold">搜索</h4>
        <button type="button" id="local-search-close" class="close" data-dismiss="modal" aria-label="Close">
          <span aria-hidden="true">&times;</span>
        </button>
      </div>
      <div class="modal-body mx-3">
        <div class="md-form mb-5">
          <input type="text" id="local-search-input" class="form-control validate">
          <label data-error="x" data-success="v"
                 for="local-search-input">关键词</label>
        </div>
        <div class="list-group" id="local-search-result"></div>
      </div>
    </div>
  </div>
</div>
  

  
    <!-- APlayer 音乐播放器 -->
    <div id="aplayer"></div>
    <script defer src="https://cdn.staticfile.org/aplayer/1.10.1/APlayer.min.js" ></script>
<link  rel="stylesheet" href="https://cdn.staticfile.org/aplayer/1.10.1/APlayer.min.css" />
<script type="text/javascript">
  var oldLoadAp = window.onload;
  window.onload = function () {
    oldLoadAp && oldLoadAp();

    new APlayer({
      container: document.getElementById('aplayer'),
      fixed: true,
      autoplay: 'false' === 'true',
      loop: 'all',
      order: 'random',
      theme: '#708090',
      preload: 'none',
      audio: [{"name":"SLEEPWALK","artist":"冰镇豆沙君","url":"http://music.163.com/song/media/outer/url?id=1417007045.mp3","cover":"/img/cover.jpg"},{"name":"雨き声残响","artist":"冰镇豆沙君","url":"http://music.163.com/song/media/outer/url?id=1318309030.mp3","cover":"/img/cover.jpg"},{"name":"春を告げる","artist":"茶玖","url":"http://music.163.com/song/media/outer/url?id=1460240705.mp3","cover":"/img/cover.jpg"},{"name":"ベクターフィッシュ","artist":"茶玖","url":"http://music.163.com/song/media/outer/url?id=1445572300.mp3","cover":"/img/cover.jpg"},{"name":"红莲华","artist":"噢耶","url":"http://music.163.com/song/media/outer/url?id=1397590357.mp3","cover":"/img/cover.jpg"},{"name":"横竖撇点折","artist":"噢耶","url":"http://music.163.com/song/media/outer/url?id=1421414775.mp3","cover":"/img/cover.jpg"},{"name":"たぶん","artist":"真央","url":"http://music.163.com/song/media/outer/url?id=1464762744.mp3","cover":"/img/cover.jpg"},{"name":"夜に駆ける","artist":"真央","url":"http://music.163.com/song/media/outer/url?id=1461930738.mp3","cover":"/img/cover.jpg"},{"name":"Alice","artist":"yakuri","url":"http://music.163.com/song/media/outer/url?id=1431092750.mp3","cover":"/img/cover.jpg"},{"name":"起风了","artist":"yakuri","url":"http://music.163.com/song/media/outer/url?id=1367440424.mp3","cover":"/img/cover.jpg"}]
    });
  }
</script>

  

  

  <footer class="mt-5">
  <div class="text-center py-3">
    <div>
      <a href="https://hexo.io" target="_blank" rel="nofollow noopener"><span>Hexo</span></a>
      <i class="iconfont icon-love"></i>
      <a href="https://github.com/fluid-dev/hexo-theme-fluid" target="_blank" rel="nofollow noopener">
        <span>Fluid</span></a>
    </div>
    
  <div class="statistics">
    
    

    
      
        <!-- 不蒜子统计PV -->
        <span id="busuanzi_container_site_pv" style="display: none">
            总访问量 
            <span id="busuanzi_value_site_pv"></span>
             次
          </span>
      
      
        <!-- 不蒜子统计UV -->
        <span id="busuanzi_container_site_uv" style="display: none">
            总访客数 
            <span id="busuanzi_value_site_uv"></span>
             人
          </span>
      
    
  </div>


    

    
  </div>
</footer>

<!-- SCRIPTS -->
<script  src="https://cdn.staticfile.org/jquery/3.4.1/jquery.min.js" ></script>
<script  src="https://cdn.staticfile.org/twitter-bootstrap/4.4.1/js/bootstrap.min.js" ></script>
<script  src="/blog/js/debouncer.js" ></script>
<script  src="/blog/js/main.js" ></script>

<!-- Plugins -->


  
    <script  src="/blog/js/lazyload.js" ></script>
  



  <script defer src="https://cdn.staticfile.org/clipboard.js/2.0.6/clipboard.min.js" ></script>
  <script  src="/blog/js/clipboard-use.js" ></script>



  <script defer src="https://busuanzi.ibruce.info/busuanzi/2.3/busuanzi.pure.mini.js" ></script>





  <script  src="https://cdn.staticfile.org/tocbot/4.11.1/tocbot.min.js" ></script>
  <script>
    $(document).ready(function () {
      var boardCtn = $('#board-ctn');
      var boardTop = boardCtn.offset().top;

      tocbot.init({
        tocSelector: '#tocbot',
        contentSelector: '#post-body',
        headingSelector: 'h1,h2,h3,h4,h5,h6',
        linkClass: 'tocbot-link',
        activeLinkClass: 'tocbot-active-link',
        listClass: 'tocbot-list',
        isCollapsedClass: 'tocbot-is-collapsed',
        collapsibleClass: 'tocbot-is-collapsible',
        collapseDepth: 6,
        scrollSmooth: true,
        headingsOffset: -boardTop
      });
      if ($('.toc-list-item').length > 0) {
        $('#toc').css('visibility', 'visible');
      }
    });
  </script>



  <script  src="https://cdn.staticfile.org/typed.js/2.0.11/typed.min.js" ></script>
  <script>
    var typed = new Typed('#subtitle', {
      strings: [
        '  ',
        "study-《物理·动量》提纲&nbsp;",
      ],
      cursorChar: "_",
      typeSpeed: 50,
      loop: false,
    });
    typed.stop();
    $(document).ready(function () {
      $(".typed-cursor").addClass("h2");
      typed.start();
    });
  </script>





  <script  src="/blog/js/local-search.js" ></script>
  <script>
    var path = "/blog/local-search.xml";
    var inputArea = document.querySelector("#local-search-input");
    inputArea.onclick = function () {
      searchFunc(path, 'local-search-input', 'local-search-result');
      this.onclick = null
    }
  </script>



  <script  src="https://cdn.staticfile.org/fancybox/3.5.7/jquery.fancybox.min.js" ></script>
  <link  rel="stylesheet" href="https://cdn.staticfile.org/fancybox/3.5.7/jquery.fancybox.min.css" />

  <script>
    $('#post img:not(.no-zoom img, img[no-zoom]), img[zoom]').each(
      function () {
        var element = document.createElement('a');
        $(element).attr('data-fancybox', 'images');
        $(element).attr('href', $(this).attr('src'));
        $(this).wrap(element);
      }
    );
  </script>





  

  
    <!-- MathJax -->
    <script>
      MathJax = {
        tex: {
          inlineMath: [['$', '$'], ['\\(', '\\)']]
        },
        options: {
          renderActions: {
            findScript: [10, doc => {
              document.querySelectorAll('script[type^="math/tex"]').forEach(node => {
                const display = !!node.type.match(/; *mode=display/);
                const math = new doc.options.MathItem(node.textContent, doc.inputJax[0], display);
                const text = document.createTextNode('');
                node.parentNode.replaceChild(text, node);
                math.start = { node: text, delim: '', n: 0 };
                math.end = { node: text, delim: '', n: 0 };
                doc.math.push(math);
              });
            }, '', false],
            insertedScript: [200, () => {
              document.querySelectorAll('mjx-container').forEach(node => {
                let target = node.parentNode;
                if (target.nodeName.toLowerCase() === 'li') {
                  target.parentNode.classList.add('has-jax');
                }
              });
            }, '', false]
          }
        }
      };
    </script>

    <script async src="https://cdn.staticfile.org/mathjax/3.0.5/es5/tex-svg.js" ></script>

  



  
  
    <script type="text/javascript">
      //定义获取词语下标
      var a_idx = 0;
      jQuery(document).ready(function ($) {
        //点击body时触发事件
        $("body").click(function (e) {
          //需要显示的词语
          var a = new Array("富强", "民主", "文明", "和谐", "自由", "平等", "公正", "法治", "爱国", "敬业", "诚信", "友善");
          //设置词语给span标签
          var $i = $("<span/>").text(a[a_idx]);
          //下标等于原来下标+1  余 词语总数
          a_idx = (a_idx + 1) % a.length;
          //获取鼠标指针的位置，分别相对于文档的左和右边缘。
          //获取x和y的指针坐标
          var x = e.pageX, y = e.pageY;
          //在鼠标的指针的位置给$i定义的span标签添加css样式
          $i.css({
            "z-index": 999,
            "top": y - 20,
            "left": x,
            "position": "absolute",
            "font-weight": "bold",
            "color": rand_color()
          });
          // 随机颜色
          function rand_color() {
            return "rgb(" + ~~(255 * Math.random()) + "," + ~~(255 * Math.random()) + "," + ~~(255 * Math.random()) + ")"
          }
          //在body添加这个标签
          $("body").append($i);
          //animate() 方法执行 CSS 属性集的自定义动画。
          //该方法通过CSS样式将元素从一个状态改变为另一个状态。CSS属性值是逐渐改变的，这样就可以创建动画效果。
          //详情请看http://www.w3school.com.cn/jquery/effect_animate.asp
          $i.animate({
            //将原来的位置向上移动180
            "top": y - 180,
            "opacity": 0
            //1500动画的速度
          }, 1500, function () {
            //时间到了自动删除
            $i.remove();
          });
        });
      })
      ;
    </script>
  














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</html>
